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Black-Scholes: o conhecido modelo de precificação de opções

By 23 de setembro de 2018 No Comments
black-scholes

O mercado de derivativos permite ao investidor diversas estratégias de especulação e, principalmente, hedge. E um dos seus conceitos fundamentais é o modelo de Black-Scholes.

A fórmula de Black-Scholes foi desenvolvida na década de 70 por Fisher Black, Robert Merton e Myron Scholes.

O modelo de Black-Scholes é um dos modelos mais usados no mundo para determinar o preço de derivativos de ações no mercado financeiro. Sua fórmula utiliza como variáveis:

  • O strike da opção; o atual preço da ação;
  • O tempo de expiração do contrato;
  • A taxa livre de risco do mercado;
  • Volatilidade;

No entanto, não é todo preço de opção que pode ser calculado através da fórmula. A opção precisa ser do tipo Europeia. Ou seja, o detentor da opção só pode exercer seu direito do contrato na data de exercício.

Já na modalidade de opções americana, do qual o detentor da opção pode exercer o seu direito a qualquer momento, a fórmula não funciona tão bem.

Caso você ainda não conheça bem este mercado, leia primeiro este artigo sobre o mercado de opções para depois entender como ocorre a precificação de opções no Black-Scholes.

Mesmo calculando o preço de opções europeias o modelo possui algumas premissas. São elas:

  • O comportamento do preço da ação corresponde a um modelo lognormal com desvio padrão e média constante
  • Não há custos de transação
  • Os contratos são divisíveis
  • Não há arbitragem possível
  • A negociação de títulos e ações é contínua
  • Todos os investidores possuem a mesma taxa livre de risco
  • A taxa de juros livre de risco no curto prazo é constante

A fórmula Black-Scholes

black-scholes

Há uma equação para calcular o preço de uma opção de compra (Call) e outra para calcular o preço de uma opção de venda (Put).

As equações envolvem uma matemática bastante avançada, mas não é necessário nenhum conhecimento matemático para utilizar o modelo.

Existem diversas calculadoras virtuais que poderão calcular o resultado e são utilizadas pelos investidores no mundo inteiro.

No entanto, será demonstrado aqui o que constitui cada equação para uma compreensão do que significa esses cálculos.

A equação para a Call é dada por:

𝑐 = 𝑆𝑜𝑁 𝑑1 𝑒 −𝑞𝑇 − 𝑋𝑒 −𝑟𝑇𝑁(𝑑2)

E para a Put é dada por:

𝑝 = −𝑆𝑜𝑁 −𝑑1 𝑒 −𝑞𝑇 + 𝑋𝑒 −𝑟𝑇𝑁(−𝑑2)

Em que:

So = preço do ativo
T = tempo até a data de exercício da opção
r = taxa de juros livre de risco (Selic, no caso brasileiro)
q = taxa ao ano paga de dividendos pela ação. Ou seja, a razão entre o valor anual pago em dividendos e o seu preço.

No entanto, ao usar uma calculadora você só precisará colocar:

  • A data de início e vencimento da opção
  • Se é uma Call ou Put
  • A volatilidade do ativo
  • A Taxa livre de risco ao ano (SELIC)
  • A taxa de dividendos da ação
  • O preço do ativo
  • O preço do exercício

Assim, a calculadora te dará o preço da opção no valor presente.

Por fim, o modelo de Black-Scholes é o mais utilizado no mundo para precificar opções europeias de ações por conseguir chegar o mais perto possível do preço real futuro.

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Tiago Reis

Tiago Reis

Formado em administração de empresas pela FGV, com mais de 15 anos de experiência no mercado financeiro, foi sócio-fundador da Set Investimentos e é fundador da Suno Research.